Что такое модуль зубчатого колеса
Современные шестерни далеко ушли от своих деревянных шестизубых предков, изготавливаемых механиками с помощью воображения и мерной веревочки. Конструкция передач намного усложнилась, тысячекратно возросли скорость вращения и усилия, передаваемые через такие передачи. В связи с этим усложнились и методы их конструирования. Каждую шестеренку характеризует несколько основных параметров
- диаметр;
- число зубьев;
- шаг;
- высота зубца;
- и некоторые другие.
Одним из самых универсальных характеристик является модуль зубчатого колеса. Существует для подвида — основной и торцевой.
В большинстве расчетов используется основной. Он рассчитывается применительно к делительной окружности и служит одним из важнейших параметров.
Для расчета этого параметра применяют следующие формулы:
m=t/π,
где t — шаг.
Параметры зубчатых колес
Модуль зубчатого колеса можно рассчитать и следующим образом:
m=h/2,25,
где h — высота зубца.
И, наконец,
m=De/(z+2),
где De — диаметр окружности выступов,а z — число зубьев.
Что же такое модуль шестерни?
это универсальная характеристика зубчатого колеса, связывающая воедино такие его важнейшие параметры, как шаг, высота зуба, число зубов и диаметр окружности выступов. Эта характеристика участвует во всех расчетах, связанных с конструированием систем передач.
Эвольвентное зацепление
Эвольвентное зацепление — это зубчатые передачи, которые нечувствительны к изменению межосевого расстояния. Ее изготавливается методом обкатки.
Все прямозубые цилиндрические передачи с одинаковым модулем зацепления могут изготавливаться на одном оборудовании, независимо от количества зубьев и размеров головки.
Модули зацепления цилиндрических и конических зубчатых колес стандартизированы по DIN 780; модули зацепления червячных передач по DIN 780; модули шлицевых соединений по DIN 5480; модули зубчатого зацепления нормального профиля для шестерен со спиральными зубьями по DIN 780.
![]() |
![]() |
Форма зубьев
Для прямозубых цилиндрических передач форма зубьев определяется DIN 867, DIN 58400; конических передач — DIN 3971; червячных передач — DIN 3975; шлицевых соединений — DIN 5480 (см. рис. «Прямые и косые зубья (наружное зацепление)» ).
Форма зубьев гипоидных передач регламентируется стандартом DIN 867. В дополнение к стандартным углам зацепления (20° для зубчатых передач и 30° для шлицевых соединений) применяются также и углы зацепления 12°, 14°30\ 15°, 17°30′| 22°30′ и 25°.
Рис. Характеристики прямозубой цилиндрической передачи передачи (циклоидное зацепление)
![]() |
![]() |
Коррегирование зубчатого зацепления
Коррегирование зубчатого зацепления (изменение высоты головки зуба (см. рис. «Коррегирование зубчатого зацепления прямозубой цилиндрической передачи (циклоидное зацепление)» ) применяется для предотвращения подрезания у шестерен с малым количеством зубьев. Оно позволяет увеличить прочность ножки зуба и точно обеспечить межосевое расстояние.
Зубчатые передачи с точно заданным межосевым расстоянием
У зубчатых пар с точно заданным межосевым расстоянием изменение высоты головки зуба для шестерни и зубчатого колеса производится на одинаковую величину, но в противоположных направлениях, что позволяет сохранить межосевое расстояние неизменным. Такое решение применяется в гипоидных и косозубых передачах.
Зубчатые передачи с изменяемым межосевым расстоянием
Изменение высоты головки зуба для шестерни и зубчатого колеса производится независимо друг от друга, поэтому межосевое расстояние передачи может изменяться. Допускаемые отклонения линейных размеров зубчатых передач регламентированы. Для прямозубых цилиндрических передач — DIN 3960, DIN 58405; для конических передач — DIN 3971; червячных передач — DIN 3975.
Подставляя jη = 0 в приведенные ниже формулы, рассчитывают параметры зацепления без зазора между зубьями. Для определения зазора между зубьями допускаемые отклонения толщины зубьев и зоны их зацепления принимают в соответствии со стандартами DIN 3967 и DIN 58405 в зависимости от требуемой степени точности зубчатой передачи. Следует отметить, что не обязательно стремиться к нулевому зазору между зубьями. Для компенсации имеющихся отклонений размеров зубьев и сборки шестерен достаточно иметь минимальный зазор, который, кроме того, предотвращает возможность заклинивания зубчатых колес. Допускаемые отклонения других расчетных параметров (зазор между ножками двух смежных зубьев, межцентровое расстояние) приведены в стандартах DIN 3963, DIN 58405, DIN 3962 Т2, DIN 3967, DIN 3964.
Что такое вал-шестерня?
Этот механизм представляет собой узел, объединивший функционал двух элементов – вала и шестерни. Выполняется из углеродистой и легированной стали. Работа вала-шестерни заключается в передаче момента вращения от одного элемента другому – механизм зацепляет соседнее зубчатое колесо, передавая воздействие ему. Особенности процесса изготовления валов-шестерен позволяют задействовать такие механизмы в условиях высоких оборотов и сильных нагрузок. Монолитная конструкция позволяет изготавливать шестерни размером, превышающим диаметр вала в два раза.
Вал-шестерня является более надежным и точным аналогом насадной шестерни. Парная конструкция нашла широкое применение в механизмах с редукторами и приводами. Вал-шестерни не смогли вытеснить насадные только в тех механизмах, в которых зубчатое колесо должно двигаться в процессе работы по оси вала.
Готовый вид вала-шестерни определяется:
- типом вала – он может быть гладким, полым или ступенчатым;
- формой оси – прямой, гибкой, коленчатой, геометрической;
- типом зубьев – выполняются прямые, косые и шевронные зубья.
Расчет наибольшего допустимого давления зубчатых передач
Ниже приведены расчетные формулы, которые могут применяться вместо стандартного расчета DIN 3990 «Расчет несущей способности зубчатых передач». Эти зависимости применимы для расчета нагрузки трансмиссионных зубчатых пар, работающих в стандартном режиме.
Величины и единицы измерения для расчета наибольшего допустимого давления
![]() |
![]() |
Необходимое сопротивление усталостному выкрашиванию и изнашиванию металла для шестерни (колесо 1) вследствие высокого контактного давления достигается, если величина оценки сопротивления выкрашиванию Sw равна или больше 1. В случае зубчатого зацепления с z1< 20 следует принимать Sw ⩾ 1,2…1,5 из-за более высоких контактных напряжений в точке однопарного зацепления. Поскольку контактные давления равны по величине для обоих колес, значение kperm для зубчатого колеса 2 следует принимать такими же, как и для колеса 1 при частоте вращения n2, пользуясь помещаемой ниже таблицей.
Формулы для расчета наибольшего допустимого давления
Содержащиеся в таблице значения коэффициента &Perm применимы, когда оба колеса изготовлены из стали. Для пар зубчатых колес из чугуна и стали или бронзы и стали этот коэффициент следует увеличить в 1,5 раза. В случае зубчатых пар из чугуна по чугуну или бронзы по бронзе коэффициент kperm следует увеличить примерно в 1,8 раза. Для зубчатого зацепления лишь с одним поверхностно упрочненным колесом, коэффициент kperm для незакаленного колеса необходимо увеличить на 20%. Все приведенные в таблице значения этого коэффициента рассчитаны на срок службы Lh = 5000 ч. При оценке сопротивления выкрашиванию металла зубчатых колес Sw расчетный срок их службы может изменяться за счет коэффициента срока службы ф.
Коэффициент допустимого контактного давления kperm в H/mm2 для срока службы Lh = 5000 ч
Прочностные характеристики материалов для изготовления зубчатых передач приведены в табл. «Параметры материалов зубчатых передач«.
- При пульсирующей нагрузке для предела усталостной прочности (NL ⩾ 3*106). В случае знакопеременной нагрузки следует применять коэффициент YL
- В пределах усталостной прочности в течение срока службы напряжения изгиба увеличиваются на коэффициент Ynt в зависимости от количества циклов нагрузки NL.
Коэффициент срока службы ф
Коэффициент срока службы используется для корректирования приведенных в верхней таблице значений коэффициента допустимого контактного давления kperm (рассчитанного на срок службы Lh = 5000 ч) для различной расчетной продолжительности работы зубчатой передачи.
Рекомендации по выбору расчетного срока службы зубчатых передач: при постоянной работе с полной нагрузкой — от 40 000 до 150 000 ч; при прерывистой полной нагрузке — от 50 до 5000 ч.
Необходимая величина сопротивления разрушению зуба обеспечивается при SF ⩾ 1 для шестерни (колесо 1). Если шестерня изготовлена из более прочного материала, чем зубчатое колесо 2, следует также произвести проверочный расчет зубчатого колеса на изгибающие нагрузки.
Скоростной фактор fv
Оценка действительна для А = 6 (средний уровень точности).
В следующей статье я расскажу об электрических свойствах материалов.
РЕКОМЕНДУЮ ЕЩЁ ПОЧИТАТЬ:
Размер по роликам зубчатого колеса. Универсальный расчет в Excel.
Приступаем к расчетам, запустив программу MS Excel. Если на вашем компьютере не установлена программа MS Excel, то можно выполнить расчет в программе Calc из свободно распространяемых пакетов Apache OpenOffice или LibreOffice.
Схемы измерений показаны ниже на рисунке. Все замеры выполняются в плоскости торцевого сечения колеса!
Рассмотрим в качестве примера расчет размера по шарикам для косозубого колеса с наружными зубьями.
Исходные данные:
1. Документ, регламентирующий нормальный исходный контур зубьев колеса вписываем
в объединенную ячейку C3D3E3: ГОСТ 13755-82
В примечания к ячейке указаны главные параметры контура
α=20° — угол профиля
ha*=1 – коэффициент высоты головки зуба
c*=0,25 – коэффициент радиального зазора
2. Угол нормального исходного контура α в градусах, участвующий в дальнейших расчетах, записываем
в ячейку D4: 20
3. Параметр T, определяющий тип зубьев (наружные или внутренние), вписываем
в ячейку D5: 1
Т=1 — для наружных зубьев
Т=-1 — для внутренних зубьев
4. Модуль зацепления m в миллиметрах пишем
в ячейку D6: 2,00
5. Число зубьев z, контролируемого колеса записываем
в ячейку D7: 27
6. Угол наклона зубьев колеса β в градусах пишем
в ячейку D8: 16,1161
7. Коэффициент смещения исходного контура колеса x вводим
в ячейку D9: 0,400
8. Расчетный диаметр измерительных роликов (шариков) Dр в миллиметрах вычисляем
в ячейке D10: =1,7*D6=3,400
Dр=1,7*m
9. Выбираем ближайший к расчетному диаметр шариков D в миллиметрах из имеющихся в наличии и вписываем
в ячейку D11: 3,690
Выбранные шарики, конечно, не должны лежать на дне впадин и должны выступать за наружный диаметр зубьев!
Шарики (ролики) всегда должны соприкасаться с эвольвентой зубьев!
Результаты расчетов:
10. Угол профиля αtв градусах вычисляем
в ячейке D13: =ATAN (TAN (D4/180*ПИ())/COS (D8/180*ПИ()))/ПИ()*180 =20,7496
αt=arctg (tg (α)/cos (β))
11. Размер по роликам (шарикам) M в миллиметрах рассчитываем
в ячейке D14: =ЕСЛИ(ЧЁТН(D7) -D7=0;J3+D5*D11;ЕСЛИ(D8=0;J3*COS ( ПИ()/(2*D7))+D5*D11;J3*((M14^2+(2*K3*COS ((ПИ()/D7+M14)/2))^2) ^0,5)/(2*K3)+D5*D11))=63,000
M=dD+T*D – для всех колес с четным числом зубьев
M=dD*cos(π/(2*z))+T*D – для прямозубых колес с нечетным числом зубьев
M=dD*((λ2+(2*tg(βD)*cos((πz+λ)/2))2)0,5/(2*tg(βD))+T*D – для косозубых колес с нечетным числом зубьев
Задача решена! Размер по роликам зубчатого колеса найден! (Точнее – в нашем примере – это размер по шарикам.)
Я умышленно в основную таблицу расчетов не стал включать громоздкие и весьма непростые вспомогательные вычисления, без которых выполнить этот расчет невозможно. Сейчас мы с ними ознакомимся.
Вспомогательные расчеты:
1. Инволюту угла профиля в точке на концентрической окружности зубчатого колеса, проходящей через центры роликов (шариков) inv(αD) вычисляем
в ячейке G3: =TAN (D13/180*ПИ()) -D13/180*ПИ()+D5*(2*D5*D9*TAN (D4/180*ПИ()) -ПИ()/2+D11/(D6*COS (D4/180*ПИ())))/D7=0,042035
inv(αD)=tg(αt) -αt+T*(2*T*x*tg(α) — π/2+D/(m*cos(α)))/z
2. Угол профиля в точке на концентрической окружности зубчатого колеса, проходящей через центры роликов (шариков) αD в радианах считываем
в ячейке I14: =I13- (TAN (I13) -I13-$G$3)/(1/(COS (I13)^2) -1) =0,485187891
Для определения αD решаем уравнение inv(αD)=tg(αD) — αD
Решается это трансцендентное уравнение итерационным методом касательных Ньютона. Подробнее о том, как это делается можно прочитать в статье «Трансцендентные уравнения? «Подбор параметра» в Excel!».
αD(0)=π/4=3.14/4=0,785398163
n=0…11
αD(n+1)= αD(n)— (tg(αD(n)) -αD(n)— inv(αD))/(1/((cos(αD(n)))2-1))
3. Диаметр концентрической окружности зубчатого колеса, проходящей через центры роликов (шариков) dD в миллиметрах рассчитываем
в ячейке J3: =D6*D7*COS (D13/180*ПИ())/(COS (I14)*COS (D8/180* ПИ()))=59,421
dD=m*z*cos (αt/(cos (αD)*cos (β))
4. Параметр tg(βD)определяем
в ячейке K3: =COS (D13/180*ПИ())*TAN (D8/180*ПИ()/COS (I14)) =0,307797
tg(βD)= cos (αt)*tg (β)/cos (αD)
5. Значение параметра λ считываем
в ячейке M14: =M13- (SIN (ПИ()/$D$7+M13)*($K$3^2) -M13)/(COS (ПИ()/ $D$7+M13)*($K$3^2) -1)=0,012140062
Для определения λ решаем уравнение sin(π/z+λ)*(tg(βD))2-λ=0
Решается это трансцендентное уравнение итерационным методом касательных Ньютона – так же, как и уравнение в п.2 этого раздела статьи. (Хотя следует заметить, что есть еще целый ряд методов численного решения подобных уравнений.)
λ(0)=π=3.141592654
n=0…11
λ(n+1)= λ(n)— (sin(π/z+λ(n))*(tg(βD))2-λ(n))/(cos(π/z+λ(n))*(tg(βD))2-1)
Формула расчета параметров прямозубой передачи
Чтобы определить параметры прямозубой шестеренки, потребуется выполнить некоторые предварительные вычисления. Длина начальной окружности равна π×D, где D — ее диаметр.
Расчет модуля зубчатого колеса
Шаг зацепления t – это расстояние между смежными зубами, измеренное по начальной окружности. Если это расстояние умножить на число зубов z, то мы должны получить ее длину:
π×D=t×z,
проведя преобразование, получим:
D=(t /π)×z
Если разделить шаг на число пи, мы получим коэффициент, постоянный для данной детали зубчатой передачи. Он и называется модулем зацепления m.
t/π=m,
размерность модуля шестерни — миллиметры. Если подставить его в предыдущее выражение, то получится:
В=m×z;
выполнив преобразование, находим:
m=D / z.
Отсюда вытекает физический смысл модуля зацепления: он представляет собой длину дуги начальной окружности, соответствующей одному зубцу колеса. Диаметр окружности выступов De получается равным
De=d+2× h’,
где h’- высота головки.
Высоту головки приравнивают к m:
h’=m.
Проведя математические преобразования с подстановкой, получим:
De=m×z+2m = m(z+2),
откуда вытекает:
m=De/(z+2).
Диаметр окружности впадин Di соответствует De за вычетом двух высот основания зубца:
Di=D-2h“,
где h“- высота ножки зубца.
Для колес цилиндрического типа h“ приравнивают к значению в 1,25m:
h’ = 1,25m.
Устройство зубчатого колеса
Выполнив подстановку в правой части равенства, имеем:
Di = m×z-2×1,25m = m×z-2,5m;
что соответствует формуле:
Di = m(z-2,5m).
Полная высота:
h = h’+h“,
и если выполнить подстановку, то получим:
h = 1m+1,25m=2,25m.
Иначе говоря, головка и ножка зубца относятся друг к другу по высоте как 1:1,25.
Следующий важный размер, толщину зубца s принимают приблизительно равной:
- для отлитых зубцов: 1,53m:
- для выполненных путем фрезерования-1,57m, или 0,5×t
Поскольку шаг t приравнивается к суммарной толщине зубца s и впадины sв, получаем формулы для ширины впадины
- для отлитых зубцов: sв=πm-1,53m=1,61m:
- для выполненных путем фрезерования- sв= πm-1,57m = 1,57m
Характеристики конструкции оставшейся части зубчатой детали определяются следующими факторами:
- усилия, прикладываемые к детали при эксплуатации;
- конфигурация деталей, взаимодействующих с ней.
Детальные методики исчисления этих параметров приводятся в таких ВУЗовских курсах, как «Детали машин» и других. Модуль шестерни широко используется и в них как один из основных параметров.
Для отображения шестеренок методами инженерной графики используются упрощенные формулы. В инженерных справочниках и государственных стандартов можно найти значения характеристик, рассчитанные для типовых размеров зубчатых колес.
Неметаллические зубчатые колеса.
Неметаллические зубчатые колеса. Зубчатые колеса из пластмасс (текстолит, древопластики, полиамиды и т. п.) работают более бесшумно, чем металлические, что имеет особое значение при больших скоростях. Чтобы понизить коэффициент трения между зубьями, одно зубчатое колесо делают из пластмассы, а второе выполняют металлическим. Пластмассы имеют сравнительно небольшие сопротивления срезу и смятию, поэтому в большинстве случаев для передачи момента применяют стальную втулку-ступицу, прочно соединяемую с телом колеса. В небольшие колеса ступицу устанавливают при формовании. Для лучшего сцепления наружную поверхность ступицы делают рифленой (накатанной) (рис. 12). Чтобы предотвратить выкрашивание и откалывание отдельных слоев пластмассы, края зубьев защищают стальными дисками (рис. 13). Толщину диска рекомендуется принимать равной половине модуля, но не более 8 мм и не менее 2 мм. Материал дисков —сталь Ст.2, Ст.З.
Зубчатые колеса больших размеров обычно делают сборными из отдельных секций.
Ширину зубчатого колеса из пластмасс принимают равной ширине зацепляющегося с ним металлического колеса или несколько меньше во избежание местного износа и выработки зубьев